Заняття  від 15.01.2019 р.

Підготовка до обласної олімпіади з математики. 7 клас

Доведення від супротивного

Цей спосіб доведення складається з таких етапів.
1. Припускають протилежне тому, що стверджується теоремою.
2. На основі припущення, спираючись на аксіоми і вже доведені теореми, роблять висновки.
3. Знаходять, у чому цей висновок суперечить умові, якійсь аксіомі або доведеній раніше теоремі.
4. Роблять висновок, що зроблене припущення неправильне, а тому правильне твердження теореми.
Особливо часто використовують цей спо­сіб доведення, коли треба довести єдиність якого-небудь об’єкта. (Припускають протилежне, тобто що таких об’єктів хоча б два.)
Приклад. Довести, що в трикутнику може бути тільки один тупий кут.
Доведення:
1) Припустимо, що в трикутнику є два тупих кути.
2) Тоді сума кутів трикутника більша за , тому що міра тупого кута більша за .
3) Зроблений висновок суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
4) Отже, наше припущення неправильне, а правильне те, що треба було довести. 

Принцип Діріхле

Задача 1. У лісі росте мільйон ялинок. Відомо, що на кожній із них не більше ніж 800 000 голок. Доведіть, що в лісі знайдуться дві ялинки з однаковою кількістю голок.
Доведення.
Припустімо, що в лісі всі ялинки мають різну кількість голок (на деякій ялинці голок могло не бути зовсім). Тоді в лісі не більше ніж 800 001 ялинка, що суперечить умові. Тут у ролі зайців були ялинки, а в ролі кліток — усі можливі варіанти кількості голок на них.

Задача 2.На 5 поличках книжкової шафи 160 книг, причому на одній із них — 3 книги. Доведіть, що знайдеться поличка, на якій не менше ніж 40 книг.
Доведення.
Припустімо, що на кожній із решти 4 поличок не більше ніж 39 книг. Тоді на всіх 5 поличках не більше ніж З + 4 • 39 = 159 книг, що суперечить умові. Отже, на одній із поличок не менше ніж 40 книг.

Задача 3. 15 хлопчиків зібрали 100 грибів. Доведіть, що принаймні двоє з них зібрали однакову кількість.
Доведення
Припустімо, що твердження задачі неправильне. Тоді 15 хлопчиків зібрали щонайменше 0 + 1 + 2 + .. . + 14 = 14•15:2 = 105 грибів. Це суперечить умові.

Задача 4.  У класі навчається 35 учнів. Доведіть , що серед них є принаймні 2, у яких день народження одного числа (можливо, в різні місяці).